韓国にいる彼女にサプライズプレゼントを贈りたい

今はインターネットで全部手続きできますよ。
後は、でチケットを買えるでしょう
ただ、パスポートの旅券番号とか入力しないといけないはずだから、貴方が知らない場合は彼女に聞く必要があります。

彼女さんのパスポートの情報があれば購入できると思いますが、パスポート番号とか名前も英語表記の分が必要なのでサプライズするよりしっかり二人で話し合って購入するなら購入した方がいいと思いますよ。
それに女性ってそういうサプライズは好きなのかな？
仕事とかの予定もあるだろうし、費用は貴方が出すとして、やっぱり相手の予定にも配慮してあげたほうがいいかなと思います。